Laboratório de Lançamento Oblíquo

Parâmetros

Defina as condições iniciais do lançamento.

Velocidade inicial v₀

m/s

1100 m/s

Ângulo de lançamento θ

1°89°

Altura inicial y₀

050 m

Gravidade g

m/s²

120 m/s²

Velocidade da simulação

Equações e valores

Grandezas atualizadas em tempo real.

Pronto

Movimento horizontal — MU

x(t) =
vₓ =

Movimento vertical — MUV

y(t) =
vᵧ(t) =

Tempo0 s

Posição x0 m

Altura y0 m

Velocidade |v|20 m/s

v₀ₓ = v₀ cos θ

v₀ᵧ = v₀ sen θ

Tempo de subida

Tempo de voo

Altura máxima

Alcance horizontal

Velocidade vₓ

Velocidade vᵧ

Trajetória do projétil

Os vetores mostram as componentes horizontal e vertical da velocidade.

trajetóriavₓvᵧg

Posição × tempo

x(t) é linear; y(t) é parabólica.

x(t)y(t)

Velocidade × tempo

vₓ é constante; vᵧ diminui com inclinação −g.

vₓvᵧ

Tabela de valores

Uma leitura é registrada a cada 0,5 segundo.

20 leituras recentes

t (s)	x (m)	y (m)	vₓ (m/s)	vᵧ (m/s)	Fase

Dois movimentos independentes

O lançamento oblíquo é a composição de um MU horizontal com um MUV vertical.

Eixo horizontal

Movimento uniforme

Sem resistência do ar, nenhuma força atua horizontalmente. A componente horizontal da velocidade permanece constante.

v₀ₓ = v₀ cos θ
x = x₀ + v₀ₓt
aₓ = 0

💡Em tempos iguais, o projétil percorre distâncias horizontais iguais.

Eixo vertical

Movimento uniformemente variado

A gravidade altera somente a velocidade vertical. Na subida, o movimento é retardado; na descida, acelerado.

v₀ᵧ = v₀ sen θ
y = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2
vᵧ = v₀ᵧ − gt

💡No ponto mais alto, vᵧ = 0, mas vₓ continua diferente de zero.

Velocidade

Módulo e direção

A velocidade instantânea é a soma vetorial de vₓ e vᵧ e permanece tangente à trajetória.

|v| = √(vₓ² + vᵧ²)
tan α = vᵧ/vₓ

Em níveis iguais, o módulo da velocidade de chegada é igual ao de lançamento.

Trajetória

Por que é uma parábola?

Eliminando o tempo entre x(t) e y(t), obtemos uma função quadrática da posição horizontal.

y = y₀ + x tan θ − gx²/(2v₀²cos²θ)

A concavidade é para baixo porque a gravidade aponta verticalmente para baixo.

Simetrias — mesmo nível

Propriedades válidas quando lançamento e chegada ocorrem na mesma altura.

consulta rápida

Grandeza	Relação	Interpretação
Tempo de subida	tₛ = v₀senθ/g	Metade do tempo total.
Tempo de voo	T = 2v₀senθ/g	Subida e descida duram o mesmo.
Altura máxima	H = v₀²sen²θ/(2g)	Medida desde o lançamento.
Alcance	A = v₀²sen(2θ)/g	Máximo para θ = 45°.
Ângulos complementares	A(θ)=A(90°−θ)	Mesmo alcance, alturas diferentes.

Lançamentos entre níveis diferentes

Não podemos usar automaticamente as fórmulas simétricas de tempo de voo e alcance.

Chegada abaixo

Lançamento de uma plataforma

A descida dura mais que a subida e a velocidade final é maior que a inicial.

0 = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2
t = [v₀ᵧ + √(v₀ᵧ² + 2gy₀)]/g
A = v₀ₓt

⚠️Use a raiz positiva, pois o tempo físico deve ser positivo.

Alvo acima

Basquete e alvos elevados

Quando tempo e posições são conhecidos, trate cada eixo separadamente.

v₀ₓ = Δx/t
v₀ᵧ = (Δy + gt²/2)/t
v₀ = √(v₀ₓ² + v₀ᵧ²)

💡A velocidade horizontal ao atingir o alvo é a mesma do lançamento.

Roteiro geral de resolução

Um método para praticamente todos os exercícios da lista.

método

Passo	Ação	Pergunta-chave
1	Escolha origem e sentido positivo.	Qual é y₀ e onde está y = 0?
2	Decomponha v₀.	Quais são v₀cosθ e v₀senθ?
3	Resolva o eixo vertical.	Preciso do tempo, altura ou vᵧ?
4	Use o mesmo tempo no eixo x.	Qual distância x = v₀ₓt foi percorrida?
5	Confira sinais e unidades.	A raiz representa um instante físico?

Exercícios da Lista 9

Exercícios selecionados para explorar os modelos fundamentais.

Exercício 1 • Mesmo nível

20 m/s a 30°

Determine tempo de subida, altura máxima, tempo de voo, alcance e |vᵧ| em t = 2 s.

Componentes: v₀ₓ = 10√3 ≈ 17 m/s; v₀ᵧ = 10 m/s.
tₛ = 1 s; H = 5 m; T = 2 s; A ≈ 34 m.
vᵧ(2) = −10 m/s; módulo 10 m/s.

Exercício 3 • Posição

Componentes conhecidas

Para v₀ₓ = 300 m/s e v₀ᵧ = 120 m/s, determine os deslocamentos após 2 s.

Δx = 300·2 = 600 m.
Δy = 120·2 − 5·2² = 220 m.

Exercício 9 • Alvo acima

Arremesso de basquete

A bola vai de 1,40 m a 3,05 m, percorrendo 4,40 m em 1,10 s. Determine vₓ e v₀ᵧ.

vₓ = 4,40/1,10 = 4 m/s.
1,65 = v₀ᵧ·1,1 − 5·1,1²; logo, v₀ᵧ = 7 m/s.

Exercício 10 • Chegada abaixo

Encosta do morro

Uma bola é chutada a 20 m/s e 30° e chega 15 m abaixo. Determine a elevação máxima e o tempo.

v₀ᵧ = 10 m/s. ΔH = v₀ᵧ²/(2g) = 5 m.
−15 = 10t − 5t²; a raiz positiva é 3 s.

Exercício 12 • Lançamento elevado

Lançamento de martelo

A bola parte de 0,5 m, com 45°, e percorre 80 m. Determine aproximadamente v₀ e H.

Com v₀ₓ = v₀ᵧ = v₀/√2, combinamos x = v₀ₓt e 0 = 0,5 + v₀ᵧt − 5t².
Resulta v₀ ≈ 28,6 m/s e H ≈ 20,5 m.

Exercício 13 • Plataforma

Chute sobre a piscina

Uma bola parte de 6 m, a 8 m/s e 45°. Determine a altura máxima em relação à água.

v₀ᵧ ≈ 5,6 m/s. ΔH = v₀ᵧ²/(2g) ≈ 1,6 m.
H = 6 + 1,6 = 7,6 m.

Tabela-resumo de fórmulas

Escolha primeiro o eixo e só depois a equação.

consulta rápida

Tema	Fórmula	Quando usar
Componentes	v₀ₓ=v₀cosθ; v₀ᵧ=v₀senθ	Sempre no início.
Horizontal	x=x₀+v₀ₓt	Movimento uniforme.
Vertical	y=y₀+v₀ᵧt−gt²/2	Posição em qualquer instante.
Velocidade vertical	vᵧ=v₀ᵧ−gt	Subida, ápice ou descida.
Torricelli vertical	vᵧ²=v₀ᵧ²−2g(y−y₀)	Quando o tempo não aparece.
Alcance geral	A=v₀ₓ·t_voo	Também para níveis diferentes.
Alcance no mesmo nível	A=v₀²sen(2θ)/g	Somente se yfinal = yinicial.